OpenAGH e-podręczniki | Zasada Duhamela

W modułach "Równanie niejednorodne struny", "Niejednorodne równanie fal kulistych", "Równanie fal walcowych. Metoda redukcji", "Problem poczatkowy dla równania ciepła" aby znaleźć rozwiązanie problemu niejednorodnego, rozważaliśmy najpierw pomocniczy problem jednorodny zależny od parametru, a następnie rozwiązanie problemu wyjściowego uzyskiwaliśmy całkując względem wspomnianego parametru rozwiązanie problemu pomocniczego. Zastosowaną metodę możemy sformułować nieco ogólniej, uzyskując tak zwaną zasadę Duhamela.

Rozważmy równanie

(1)

\( u_t(x,t)=L\big(u(x,t)\big)+f(x,t)\qquad{\rm dla}\quad x\in\Omega,\hskip 0.3pc t>0 \)

z warunkiem początkowym

(2)

\( u(x,0)=\varphi (x) \qquad{\rm dla}\quad x\in\Omega \)

oraz warunkiem brzegowym

(3)

\( u(x,t)=\psi (x,t) \qquad{\rm dla}\quad x\in\partial\Omega , \hskip 0.3pc\,t>0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \Omega\subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \), a \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) jest operatorem eliptycznym względem zmiennych przestrzennych.
Zauważmy, że w postawionym problemie funkcje \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) zależą od zmiennej \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \). Rozważmy analog problemu ( 1 ) - ( 3 ) z funkcjami \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) niezależnymi od \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \). Mianowicie, ustalmy \( \hskip 0.3pc \tau >0\hskip 0.3pc \) i rozważmy problem

(4)

\( u_t(x,t)=L\big(u(x,t)\big)+f(x,\tau )\qquad{\rm dla}\quad x\in\Omega,\hskip 0.3pc t>0; \)

(5)

\( u(x,0)=\varphi (x) \qquad{\rm dla}\quad x\in\Omega; \)

(6)

\( u(x,t)=\psi (x,\tau ) \qquad{\rm dla}\quad x\in\partial\Omega , \hskip 0.3pc\,t>0. \)

Załóżmy, że problem ( 4 ) - ( 6 ) posiada rozwiązanie dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \tau >0\hskip 0.3pc \). Ponieważ zależy ono od parametru \( \hskip 0.3pc \tau \hskip 0.3pc \), oznaczmy go symbolem \( \hskip 0.3pc v=v(x,t;\tau )\hskip 0.3pc \). Twierdzimy, że funkcja

(7)

\( u(x,t)= \dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_0^tv(x,t-\tau ;\tau )d\tau \)

jest rozwiązaniem problemu ( 1 ) - ( 3 ).
Istotnie, warunki ( 2 ) i ( 3 ) są spełnione w oczywisty sposób. Wykonując różniczkowanie w ( 7 ), po uwzględnieniu ( 5 ), otrzymamy

\( u(x,t)=v(x,0;t)+\displaystyle\int_0^tv_t(x,t-\tau ;\tau )d\tau = \varphi (x)+\displaystyle\int_0^tv_t(x,t-\tau ;\tau )d\tau . \)

Stąd oraz związków ( 4 ) i ( 7 ) dostajemy

\( \begin{aligned}u_t(x,t)- L\big(u(x,t)\big)=& \dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_0^tv(x,t-\tau ;\tau )d\tau -L\Big(\dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_0^tv(x,t-\tau ;\tau )d\tau \Big)=\\=&\dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_0^t\Big(v(x,t-\tau ;\tau )-L\big(v(x,t-\tau ;\tau )\big)\Big)d\tau = \dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_0^tf(x,\tau )d\tau =f(x,t),\end{aligned} \)

co kończy dowód. Taką metodę konstrukcji rozwiązań nazywamy zasadą Duhamela.

Przykład 1:

Znaleźć rozwiązanie równania

\( u_t=u_{xx}\qquad {\rm dla}\quad 0<x<1,\hskip 0.3pc\,t>0, \)

spełniające warunki:

\( u(0,t)=0,\quad u(1,t)=\varphi (t)\quad {\rm dla}\hskip 0.3pc\, t>0,\qquad u(x,0)=0 \quad {\rm dla}\hskip 0.3pc\, 0<x<1. \)

Rozważmy najpierw problem pomocniczy

\( v_t=v_{xx}\qquad {\rm dla}\quad 0<x<1,\hskip 0.3pc\,t>0, \)

\( v(0,t)=0,\hskip 0.3pc v(1,t)=\varphi (\tau )\quad {\rm dla}\hskip 0.3pc\, t>0,\qquad v(x,0)=0 \quad {\rm dla}\hskip 0.3pc \, 0<x<1. \)

Stosując metodę rozdzielania zmiennych, rozwiązanie problemu pomocniczego możemy wyrazić w postaci

\( v(x,t;\tau )=f(\tau )\Big(x+\dfrac 2{\pi}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}e^{-n^2\pi ^2t}\sin(n\pi x)\Big) = f(\tau )g(x,t), \)

gdzie

\( g(x,t)=x+\dfrac 2{\pi}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}e^{-n^2\pi ^2t}\sin(n\pi x). \)

Zgodnie z zasadą Duhamela szukane rozwiązanie ma postać

\( u(x,t)= \dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_0^tv(x,t-\tau ;\tau )d\tau =\dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_0^t f(\tau )g(x,t-\tau )d\tau =\dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_0^t f(t -\theta )g(x,\theta )d\theta . \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Zasada Duhamela

Przykład 1: